Collatz Teoremi
Collatz Teoremi
Collatz Problemi ( Dolu Tanesi Sayıları ) konusunda bilinen tek şey vardır ki, o da kökenin sırlarla örtülü olduğudur.
Aslında problemin genel kabul görmüş bir ismi bile yok. Bazıları ona 3N+1 problemi diyor. Collatz adı, 1930'larda problemin yaratıcısı olduğunu söylenen Lothar Collatz’dan gelmektedir. Peki nedir bu problemin özelliği? Problemin tanımlamalarının oldukça kolay olmasına karşın hem daha çözülmemiştir, hem de günümüzün en iyi matematik beyinlerine göre uzun yıllar boyu çözülmeden kalması olasılığı vardır.
Dolu tanesi sayıları aşağıda verilen çok kolay bir yolla elde edilirler. Bir sayı düşünün, sayı tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin; çift ise 2’ye bölün. Elde ettiğiniz her sayı için bu kuralı tekrar tekrar uygulayın. Bunu bir kaç sayı ile tekrar tekrar deneyin ve sonuçta ne olduğuna bakın.
Mesela biz şimdi 1, 2 ve 3 için ayrı ayrı deneyelim;
Aslında problemin genel kabul görmüş bir ismi bile yok. Bazıları ona 3N+1 problemi diyor. Collatz adı, 1930'larda problemin yaratıcısı olduğunu söylenen Lothar Collatz’dan gelmektedir. Peki nedir bu problemin özelliği? Problemin tanımlamalarının oldukça kolay olmasına karşın hem daha çözülmemiştir, hem de günümüzün en iyi matematik beyinlerine göre uzun yıllar boyu çözülmeden kalması olasılığı vardır.
Dolu tanesi sayıları aşağıda verilen çok kolay bir yolla elde edilirler. Bir sayı düşünün, sayı tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin; çift ise 2’ye bölün. Elde ettiğiniz her sayı için bu kuralı tekrar tekrar uygulayın. Bunu bir kaç sayı ile tekrar tekrar deneyin ve sonuçta ne olduğuna bakın.
Mesela biz şimdi 1, 2 ve 3 için ayrı ayrı deneyelim;
1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, .......
2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, .......
3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, .......
Bunların hepsi kısa sürede aynı 1, 4, 2, 1, 4, 2 döngüsüne giriyorlar. İsterseniz daha büyük bir başlangıç sayısı seçin, mesela 7;
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, .......
Bu sefer dizi biraz uzayıp 52 gibi maksimum noktasına ulaştıktan sonra yine o döngüye takılıp kaldı. Şimdi yanıtlanması gereken soru şudur; “Bütün bu diziler, başlangıç sayıları ne olursa olsun, bu şekilde mi sonuçlanırlar?”. Ben bu yazıyı yazdığım ve internete sunduğum sırada bu sorunun yanıtı henüz bulunmuş değildi. Yapacağınız çalışmalar sırasında, kuralın her sayı için doğru olduğunu göstermek için bir genelleştirilmiş yöntem bulurken, ya da kuralı, tabiri caizse, “delen” bir sayı bulmaya çalışırken sizlere yardımcı olabilecek bir kaç nokta göstermek istiyorum; Denemeler yaparken tüm sayıları denemenize gerek yok. Mesela çift sayılar ilk adımda hemen 2'ye bölünüp, sonuçta bir veya birkaç adımda bir “tek” sayıya ulaşılacağından, çift sayıları denemeniz gerekmiyor. Ayrıca denemiş olduğunuz bir sayı dizisinde herhangi bir adımda ortaya çıkan bir sayıyı da yeniden denemenize gerek yok. Mesela yukarıda 7'yi başlangıç sayısı olarak alıp yaptığımız denemeye bakarak, 2. adımda elde ettiğimiz 11 için veya 4. adımda elde ettiğimiz 17 için ayrıca deneme yapmamız gerekmiyor, zira sonuçta 4, 2, 1, 4, 2, 1, döngüsüne takıldığı görülüyor.
