MODÜLER ARİTMETİK
MODÜLER ARİTMETİK
MODÜLER ARİTMETİK
MODÜLER ARİTMETİK
a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,
b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}
bir denklik bağıntısıdır.
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a, b) Î b için,
a º b (mod m)
biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.
|
Ü |
|
Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.
Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları
Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve 
biçiminde gösterilir.
Buna göre,
|
Ü |
n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve a º b (mod m) c º d (mod m) olmak üzere, |
-
a + c º b + d (mod m)
-
a – c º b – d (mod m)
-
a × c º b × d (mod m)
-
an º bn (mod m)
-
a – b º 0 (mod m)
-
k × a º k × b (mod m) dir.
-
n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise
dir. -
a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere,
dir.
|
|
deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.
|
Ü |
Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise, xm–1 º 1 (mod m) dir. x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir. |
|
Ü |
x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hâli m = ak . b r . c p olmak üzere,
|
|
m asal sayı ise, (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir. |
