DüetMatematik - BÖLME – BÖLÜNEBİLME

BÖLME – BÖLÜNEBİLME

Temel Kavramlar	Basamak Kavramı	Taban Aritmetiği	Bölme Bölünebilme
Faktoriel	Asal Çarpan	Obeb Okek	Rasyonel Sayılar
Üslü Sayılar	Köklü Sayılar	Denklemler Eşitsizlikler	Mutlak Değer
Oran Orantı	Ortalamalar	Sayı-Kesir Problemleri	Yaş Problemleri
İşçi-Havuz Problemleri	Hareket Problemleri	Yüzde-Kar Zarar	Faiz Problemleri
Karışım Problemleri	Saat Problemleri	Grafik Problemleri	Kartezyen Bağıntı
Fonksiyon	Mantık	Kümeler	İşlem
Modüler Aritmetik	Permutasyon	Kombinasyon	Binom

BÖLME – BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
A = B × C + K dir.
Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez.
K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebilir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı a_na_n-1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

olmak üzere,

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) +...– ... = 7k

olmalıdır.

Ü	Birler basamağı a₀, onlar basamağı a₁, yüzler basamağı a₂, ... olan sayının (...a₅a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının) 7 ile bölümünden kalan (a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) +...– ... ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan,

(H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü	Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının (... abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı a_na_{n–1 ...}a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... = 11 . k

ve olmalıdır.

Ü	(n + 1) basamaklı a_na_{n–1 ...}a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile bölümünden kalan (a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür.
3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür.

4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K₁, K₂ uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K₁ ve

B nin C ile bölümünden kalan K₂ olsun.

Buna göre,

A × B nin C ile bölümünden kalan K₁ × K₂ dir.
A + B nin C ile bölümünden kalan K₁ + K₂ dir.
A – B nin C ile bölümünden kalan K₁ – K₂ dir.
D × A nın C ile bölümünden kalan D × K₁ dir.
A^E nin C ile bölümünden kalan (K₁)^E dir.

Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B × C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir.

144 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.

Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:

A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,

(m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.

A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,

2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,
A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,

– (a + b + c) dir.
A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı,
A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: