DüetMatematik

İŞLEM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

A kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özeliği

" (Her) a, b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi p işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özeliği

" (Her) a, b Î A için, a p b = b p a ise, p işleminin değişme özeliği vardır.

3. Birleşme Özeliği

" (Her) a, b, c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p işleminin birleşme özeliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği

" (Her) x Î A için, x p e = e p x = x ise, e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise, p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özeliği

p işleminin etkisiz elemanı e olsun.

a Î A için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a^–1 biçiminde gösterilir.

A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre, tersleri A nın elemanı ise, p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.

6. Dağılma Özeliği

" a, b, c Î A için,

a « (b p c) = (a « b) p (a « c) ise,

« işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.

(a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise,

« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.

7. Yutan Eleman Özeliği

" x Î A için, x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p işleminin yutan elemanı denir.

y Î A ise, p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

D. MATEMATİK SİSTEMLER

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
(A, «) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.

1. A, « işlemine göre kapalıdır.

2. A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.

3. A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.

4. A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır.

1. (A, D) sistemi değişmeli gruptur.

2. A kümesi « işlemine göre kapalıdır.

3. « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.